Makalah Geometri Refleksi

3. REFLEKSI (PENCERMINAN)

3.1. PENDAHULUAN

Pada pertemuan sebelumnya telah dipelajari materi garis dan lingkaran yang membahas tentang garis dan persamaan garis, jarak, perpotongan garis dan lingkaran serta materi isometri yang membahas tentang translasi (pergeseran) dan rotasi (perputaran). Sedangkan untuk pertemuan kali ini materi yang akan dibahas yaitu tentang refleksi (pencerminan).

Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan megetahui pengertian dan sifat dari pencerminan itu. Pencerminan adalah isometri apabila memenuhi pengertian atau syarat dari  isometri itu sendiri seperti yang telah dibahas pada minggu lalu mengenai isometri.

Pada pencerminan banyak persamaan transformasinya. Persamaan tersebut berbeda-beda tergantung akan direfleksikan terhadap apa, misalnya yang akan dibahas ini adalah pencerminan terhadap sumbu x. Selain itu akan dibahas juga tentang glide reflections (proses pencerminan) dan teorema pencerminan.

---

Dengan demikian, setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan mampu:

-            Mengetahui pengertian dari pencerminan.

-            Mengetahui sifat-sifat dan persamaan dari pencerminan.

-            Mengetahui pencerminan adalah isometri.

-            Mengetahui yang dimaksud dengan glide reflections.

-            Mengetahui teorema pencerminan.

-            Mengerjakan soal-soal yang berhubungan dengan pencerminan.

 

3.2. PENGERTIAN REFLEKSI

            Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahkan itu. Refleksi suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu. Garis tertentu itu dinamakan sebagai sumbu cermin atau sumbu simetri. Jika suatu bangun geometri dicerminkan terhadap garis tertentu, maka bangun bayangan kongruen dengan bangun semula.

3.3. SIFAT-SIFAT REFLEKSI

Tiga sifat utama refleksi adalah:

-       Jarak titik ke cermin sama dengan jarak titik bayangannya ke cermin.

-       Suatu bangun yang direfleksikan akan kongruen dengan bayangannya.

-       Sudut-sudut yang dihasilkan oleh cermin dengan garis penghubung setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.

....................................................................................................................................................

3.4. REFLECTIONS  (Pencerminan)

Seperti yang telah dijelaskan pada pendahuluan, bahwa pencerminan yang akan dibahas adalah pencerminan di sumbu x, yang mencerminkan titik P(x,y) menjadi P(x,-y). Kita dapat mencerminkan bidang dari setiap garis dan kita dapat melakukan ini dengan menggabungkan refleksi di sumbu x dengan translasi dan rotasi. Sebagai contoh, refleksi di garis y = 1 (yang sejajar dengan sumbu x) adalah hasil dari setelah tiga isometri.

..................................................................................................................................

3.5. GLIDE REFLECTIONS (Peluncuran / Proses Pencerminan)

            Proses pencerminan adalah hasil dari sebuah pencerminan diikuti dengan translasi dalam arah garis refleksi. Sebagai contoh, jika kita merefleksikan pada sumbu x, dari (x,y) menjadi  (x,-y) dan mengikuti dengan translasi  dengan panjang 1 dalam arah x, maka (x,y)  akan menjadi  (x + 1, -y).

            Peluncuran refleksi dengan panjang translasi nol akan berbeda dari tiga jenis isometri sebelumnya.

·      Bukan sebuah translasi, karena translasi memetakan dari setiap garis dalam arah translasi ke dirinya sendiri, sedangkan peta dari peluncuran refleksi  hanya satu garis ke dalam dirinya (yaitu garis refleksi).

·      Bukan sebuah rotasi, karena sebuah rotasi memiliki titik tetap sedangkan peluncuran refleksi tidak memiliki titik tetap.

·      Bukan sebuah refleksi, karena refleksi juga memiliki titik tetap (semua titik pada garis refleksi).

Latihan Soal

1.    Diketahui titik A(3,5) dan B(-4,2) , periksa apakah jika direfleksikan terhadap sumbu x merupakan isometri?

2.    Garis y = ½ direfleksikan terhadap sumbu x, tunjukkan bahwa itu menghasilkan isometri dari titik (x,y) menjadi (x,y+1) sehingga memiliki translasi  . (latihan 3.6.2. dalam buku John Stillwell halaman 61)

3.    Dari latihan nomor 2, untuk menunjukkan kombinasi dari refleksi dalam garis yang sejajar, jarak d/2 terpisah, adalah sebuah translasi melalui jarak d dalam arah tegak lurus terhadap garis refleksi. Tunjukkan hal tersebut melalui gambar. (latihan 3.6.3. dalam buku John Stillwell halaman 61)

4.    Tunjukkan melalui gambar yang cocok bahwa kombinasi dari refleksi di garis yang bertemu di sudut  adalah rotasi melalui sudut .

(latihan 3.6.4. dalam buku John Stillwell halaman 61)

..........................................................................................................................................

3.6. THE THREE REFLECTIONS THEOREM (Tiga Teorema Refleksi)

            Pada materi sebelumnya yang berjarak sama dari dua titik A dan titik B   membentuk garis, yang menunjukkan bahwa isometri tersebut sangat sederhana. Sebuah isometri f dari  ditentukan oleh gambar f(A), f(B), f(C) dari tiga titik A, B, C yang tidak segaris.

Tiga buktinya yaitu:

·      Titik P di  ditentukan oleh jarak dari A, B, C. Karena jika Q adalah titik lain dengan jarak yang sama dari A, B, C pada P, maka A, B, C terletak pada garis yang berjarak sama dari P dan Q, bertentangan dengan asumsi bahwa A, B, C tidak berada dalam garis. 

·      Isometri f  mempertahankan jarak (dari definisi isometri), sehingga f(P) terletak pada jarak yang sama dari masing-masing f(A), f(B), f(C), P dari A, B, C.

·      Hanya ada satu titik memberi jarak tertentu dari f(A), f(B), f(C) karena tiga titik tersebut tidak dalam satu garis, ketiga titik tersebut membentuk segitiga kongruen dengan segitiga ABC, karena f mempertahankan jarak (isometri).

Bukti diberikan lebih jelas pada contoh yang ditunjukkan gambar berikut:

Diketahui titik A(2,1), B(5,3) dan C(3,4). Gambarkan masing-masing titik tersebut terhadap sumbu x dan sumbu y.

Latihan Soal

Diberikan tiga titik A, B, C dan titik f(A), f(B), f(C) yang diberikan oleh isometri f, itu kemungkinan untuk menemukan tiga refleksi yang bergabung dari f dengan mengikuti langkah-langkahnya. Namun , jika hanya ingin mengetahui jenis isometri f  apakah translasi, rotasi atau peluncuran refleksi, maka jawabannya sangat sederhana. Untuk menemukan hal tersebut, kita dapat mengambil tiga titik awal yaitu A(0,1), B(0,0), dan C(1,0). Itu akan dapat membantu untuk membuat sketsa tiga titik  f(A), f(B), f(C), seperti pada latihan berikut.

Misalkan f(A) = (1,4;2),  f(B) = (1,4;1),  f(C) = (2,4;1). Apakah f adalah translasi, atau rotasi? Bagaimana bisa mengetahui bahwa f bukanlah suatu peluncuran refleksi? (latihan 3.7.1. dalam buku John Stillwell halaman 63)

 ...........................................................................................................................................................